第574章 小組長

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江水源心中略作盤算。雖然反交換的矩陣不一定有公共的特徵向量，但是a的半正定性使得只需要把問題限制在零特徵值的特徵子空間上討論就行了，此時a、B的反交換性就變成了交換性。所以第一種方法就是利用不變子空間理論，將問題轉化成幾何的語言，就可以很容易證明結論。

剛剛寫完，他又想到了另外一種方法，利用實對稱陣的正交相似標準形理論，假設a是正交相似標準形來做。嗯，so_easy!

進度132o!

江水源剛要翻到下一題，突然想到一種更巧妙的方法，即利用a^2、B可以同時正交對角化，再用到半正定矩陣算術平方根的唯一性來證明，這種方法不僅更自然，也更簡單。

景鵬像是閒得無聊，整個上午都呆在自習室裡，優哉遊哉地翻看著江水源放在書架上的各種書籍。等到江水源做完第13題，馬上伸手拿過答題紙認真看了起來。江水源吐槽道“景老師，不是說好開卷麼？怎麼感覺像是以開卷之名，行閉卷之實呀？”

“我就是隨便看看，礙著你翻書找資料了嗎？”景鵬好整以暇地調整了個坐姿。

“倒不礙著我翻書找資料，可是影響我考試心情啊！”

“都考試了，還能有什麼心情？趕緊做題吧！”景鵬安靜了不到十秒鐘，忍不住驚訝出聲“欸，這個解法好精巧，我都沒想到過！”

江水源一聽就知道他說的是哪裡“很巧妙吧？我也是突然來了靈感才想到的。”

景鵬讚許地點點頭“不錯、不錯。不過能想到這個方法，只能算是有點聰明；能把整張試卷按時做完，那才是真正把高等代數學好了。”

什麼意思？看來後面的題目簡單不了啊！

事實證明，景鵬不是虛言恫嚇。江水源越往後做越覺得吃力，第15題剛開了個頭，突然有隻手伸到自己面前“飯卡！”

“嗯？”江水源順著手看過去，原來是那位相貌普通的低階科研狗，景鵬不知道什麼時候已經走了。

“午飯吃什麼？”

“哦，已經是中午了？麻煩來一份石鍋拌飯，一盒牛奶，謝謝。”

“好。”低階科研狗突然臉上帶著蜜汁微笑，神秘兮兮地問道，“在你們那個班，是不是班委什麼的也是按顏值來排的？比如說，長得最帥、最漂亮的當班長，排第二的當學委啥的？”

“是啊，你怎麼知道？當時我還是小組長呢！”

吃完某位八卦人士熱心送來的午飯，江水源把戰線繼續緩慢往前推進。如果說上次數分考試非常考驗人的耐心和腦筋急轉彎的能力，那麼這次高代考試顯然更注重人的思維能力和對知識的創新運用。換個角度說，上次數分考試像知識競賽，而這次高代考試像寫小論文。

到了晚上九點多鐘，終於順利推進道最後一道壓軸題，證明三個矩陣秩不等式中等號成立的充分必要條件。

眾所周知，矩陣理論是高等代數的重要組成部分，而矩陣的秩又是矩陣的一個重要數值引數。在矩陣運算前後，矩陣的秩會具有什麼樣的關係，教材上一般都給出了三個重要的矩陣秩不等式，分別是

rank（a+B）≤ranka+rankB；

rank（aB）≤min{ranka，rankB}；

rank（aB）≥ranka+rankB-n，其中n為矩陣a的列數。

在江水源見過的線性代數教材中，或是從初等變換、或是從向量組的秩的角度給出上述三個不等式的證明，但都沒說清不等式在什麼情況下等式成立。那麼該如何證明上述三個矩陣秩不等式中等號成立的充要條件呢？

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